Question

5．已知直線l過點(diǎn)（0，-4），P是l上的一動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C：x²+y²-2y=0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則直線的斜率為（　�。�

• A． $±\sqrt{2}$
• B． ±$\frac{\sqrt{21}}{2}$
• C． ±2$\sqrt{2}$
• D． ±2

Answer 1

分析 由圓的方程為求得圓心C，半徑r，由“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小”，最后利用點(diǎn)到直線的距離求出直線的斜率即可．

解答 解：∵圓的方程為：x²+（y-1）²=1，
∴圓心C（0，1），半徑r=1．
根據(jù)題意，若四邊形面積最小，當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線l的距離最小時(shí)，
切線長PA，PB最小，切線長為2，
∴PA=PB=2．
∴圓心到直線l的距離為d=$\sqrt{5}$，直線方程為y+4=kx，即kx-y-4=0，
∴$\sqrt{5}$=$\frac{|-4-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=±2．
則所求直線的斜率為：±2．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，主要涉及了構(gòu)造四邊形及其面積的求法，解題的關(guān)鍵是“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小”屬于中檔題．