Question

已知f（x）=|2x-

3

4

|+|2x+

5

4

|，設(shè)m，n∈R⁺，且m+n=1．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤

5

2

的解集；
（Ⅱ）求證：

2m+1

+

2n+1

≤2

f(x)

．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間的方法討論：當(dāng)x≥

3

8

時(shí)，當(dāng)x≤-

5

8

時(shí)，當(dāng)-

5

8

＜x＜

3

8

，去絕對(duì)值，解不等式，最后求并集即可；
（Ⅱ）利用分析法結(jié)合基本不等式即可證得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：不等式f（x）≤

5

2

即為|x-

3

8

|+|x+

5

8

|≤

5

4

，
當(dāng)x≥

3

8

時(shí)，不等式即為x-

3

8

+x+

5

8

≤

5

4

，解得x≤

1

2

，則有

3

8

≤x≤

1

2

；
當(dāng)x≤-

5

8

時(shí)，不等式即為

3

8

-x-x-

5

8

≤

5

4

，解得x≥-

3

4

，則有-

3

4

≤x≤-

5

8

；
當(dāng)-

5

8

＜x＜

3

8

，不等式即為

3

8

-x+x+

5

8

≤

5

4

，即1≤

5

4

，則有-

5

8

＜x＜

3

8

．
則原不等式的解集為[-

3

4

，

1

2

]；
（Ⅱ）證明：∵依據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知，
函數(shù)f（x）=|2x-

3

4

|+|2x+

5

4

|表示數(shù)軸上點(diǎn)P（2x）到點(diǎn)A（

3

4

）和B（-

5

4

）兩點(diǎn)的距離，
其最小值為f（x）_min=2，
∴只需證明：

2m+1

+

2n+1

≤2

2

成立，
∵

2(2m+1)

≤

2+2m+1

2

=m+

3

2

；

2(2n+1)

≤

2+2n+1

2

=n+

3

2

．
于是

2

（

2m+1

+

2n+1

）≤m+n+3=4，
∴

2m+1

+

2n+1

≤2

2

成立，
故要證明的不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查絕對(duì)值的幾何意義與基本不等式的應(yīng)用，考查分析、運(yùn)算與論證能力，屬于中檔題．