Question

15．如圖，在三棱柱ABM-DCN中，側(cè)面ADNM⊥側(cè)面ABCD，且側(cè)面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AD=2，側(cè)面ADNM是矩形，AM=1．E是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AN∥平面MEC；
（2）求三棱錐E-BCM的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)MD，設(shè)AN∩MD=G，取MC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，GF，則利用中位線定理和平行公理可得四邊形AEFG是平行四邊形，得出AN∥EF，故而AN∥平面MEC；
（2）以△BCM為底面，則AM為棱錐的高，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出△BCE的面積，代入棱錐的體積公式計(jì)算．

解答 （1）證明連結(jié)MD，設(shè)AN∩MD=G，取MC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，GF，
∵側(cè)面ADNM是矩形，∴G是MD的中點(diǎn)，
∴GF是△MCD的中位線，
∴GF∥CD，GF=$\frac{1}{2}CD$，
∵側(cè)面ABCD是菱形，E是AB的中點(diǎn)，
∴AE∥CD，AE=$\frac{1}{2}CD$，
∴GF∥AE，GF=AE，
∴四邊形AEFG是平行四邊形，
∴AG∥EF，即AN∥EF，
又∵AN?平面MEC，EF?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．
（2）解：∵側(cè)面ADNM是矩形，∴AM⊥AD，
又∵側(cè)面ADNM⊥側(cè)面ABCD，側(cè)面ADNM∩側(cè)面ABCD=AD，AM?平面ADNM，
∴AM⊥平面ABCD．
∵側(cè)面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AD=2，
∴BE=1，∠EBC=120°，BC=2，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}×1×2×sin120°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴V_E-BCM=V_M-BCE=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•AM$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．