Question

數(shù)列{a_n}（n∈N^*）中，如果存在a_k使得“a_k＜a_k-1，且a_k＜a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），則稱a_k為{a_n}的一個(gè)“谷值”．
①若a_n=n²-10n+1，則{a_n}的“谷值”為

 

；
②若a_n=

-2n2-tn ， n＜3 -tn-8， n≥3

且{a_n}存在“谷值”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：①對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)配方，即可得到最小值，即“谷值”；
②求出a₁=-2-t，a₂=-8-2t，a₃=-8-3t．當(dāng)n≥3，t＞0遞減，t＜0遞增，分別討論a）t=-6，b）t＜-6，c）-6＜t＜0，是否存在“谷值”，注意運(yùn)用單調(diào)性，即可．

解答： 解：①a_n=n²-10n+1=（n-5）²-24，∴對(duì)于任意的n∈N都有，a_n≥-24，
∴{a_n}的“谷值”為-24；
②當(dāng)n＜3時(shí)，有a₁=-2-t，a₂=-8-2t，
當(dāng)n≥3，t＞0遞減，t＜0遞增，且a₃=-8-3t．
若t=0時(shí)，a₁＞a₂=a₃=a₄=…，則不存在“谷值”；
若t＞0時(shí)，a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞…，則不存在“谷值”；
若t＜0時(shí)，a）t=-6，a₁=a₂＜a₃＜a₄＜…，則不存在“谷值”；
b）t＜-6，a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜…，則不存在“谷值”；
c）-6＜t＜0，a₁＞a₂＜a₃＜a₄＜…，存在“谷值”且為a₂．
綜上，t的取值范圍是（-6，0）．
故答案為：-24，（-6，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義及運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性和運(yùn)用，正確理解新定義是迅速解題的關(guān)鍵，是一道中檔題．