Question

在等比數(shù)列{a_n}中，已知對任意的正整數(shù)n，有s_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+…+a_n²=（　�。�

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  （2ⁿ-1）²
• C、2ⁿ-1
• D、

  1

  3

  （4ⁿ-1）

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由等比數(shù)列的前n項和可求前幾項，求出首項和公比即可求出數(shù)列的通項公式，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a_n²也為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的公式

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ-1
∴a₁=S₁=1，a₂=S₂-S₁=2，q=2
所以等比數(shù)列的首項為1，公比q為2，
則a_n=2^n-1
∴a_n²=4^n-1，是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，
∴a₁²+a₂²+…a_n²=

1-4n

1-4

=

1

3

（4ⁿ-1）
故選：D．

點評：本題主要考查數(shù)列的求和問題，以及由前n項和求數(shù)列通項和等比數(shù)列的前n項和公式，屬于中檔題．