Question

13．a(chǎn)，b為正數(shù)，給出下列命題：
①若a²-b²=1，則a-b＜1；
②若$\frac{1}$-$\frac{1}{a}$=1，則a-b＜1；
③e^a-e^b=1，則a-b＜1；
④若lna-lnb=1，則a-b＜1．
其中真命題的有①③．

Answer 1

分析 不正確的結論，列舉反例，正確的結論，進行嚴密的證明，即可得出結論．

解答 解：①中，a，b中至少有一個大于等于1，則a+b＞1，
由a²-b²=（a+b）（a-b）=1，
所以a-b＜1，故①正確．
②中$\frac{1}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{a-b}{ab}$=1，只需a-b=ab即可，
取a=2，b=$\frac{2}{3}$滿足上式但a-b=$\frac{4}{3}$＞1，故②錯；
③構造函數(shù)y=x-e^x，x＞0，y′=1-e^x＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵e^a-e^b=1，∴a＞b，
∴a-e^a＜b-e^b，
∴a-b＜e^a-e^b=1，
故③正確；
④若lna-lnb=1，則a=e，b=1，a-b=e-1＞1，故④不正確．
故答案為：①③．

點評 本題考查不等式的性質(zhì)、導數(shù)的應用等基礎知識，意在考查學生分析問題解決問題的能力、推理能力、運用轉化與化歸思想的能力．