Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，一曲線E過點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；
（2）試根據(jù)（1）所求方程判斷曲線是否為橢圓方程，若是，寫出其長軸長、焦距、離心率．

Answer 1

分析 （1）以$\overline{AB}$所在的方向?yàn)闉閤軸的正方向，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，確定P的軌跡為橢圓，即可求曲線E的方程；
（2）由橢圓的定義判斷（1）所求得方程為橢圓方程，并并求得a、b和c，即可求得長軸長、焦距、離心率．

解答 解：（1）以$\overline{AB}$所在的方向?yàn)闉閤軸的正方向，以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（1，0），
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$＞2=|AB|，
∴動(dòng)點(diǎn)軌跡為橢圓，且a=$\sqrt{2}$，c=1，由a²=b²+c²，從而b=1．
∴方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）∵|PA|+|PB|=2$\sqrt{2}$＞2=|AB|，
曲線方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$為橢圓方程，a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1．
∴長軸長2$\sqrt{2}$，焦距為2，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查橢圓的定義，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．