Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x．
（1）求f（x） 的周期及單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式即可轉(zhuǎn)化為：y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式可求最小正周期，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由已知可求2x+$\frac{π}{4}$的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解其值域．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴周期為T=$\frac{2π}{2}$=π．
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
∴f（x） 的單調(diào)遞增區(qū)間為：（kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$），k∈Z，
（2）∵當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的值域?yàn)椋篬-1，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及周期性與最值，著重考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．