Question

19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin²A+sin²C=sin²B-sinAsinC．
（1）求B的大小；
（2）設∠BAC的平分線AD交BC于D，AD=2$\sqrt{3}$，BD=1，求sin∠BAC的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡得到一個等式，再利用余弦定理求出cosB的值，即可求出B的度數(shù)；
（2）利用正弦定理可求sin∠BAD的值，利用倍角公式可求cos∠BAC，進而利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sin∠BAC的值．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）在△ABC中，∵sin²A+sin²C=sin²B-sinAsinC，
∴a²+c²=b²-ac，…（2分）
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=-$\frac{ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，…（4分）
∵B∈（0，π），…（5分）
∴B=$\frac{2π}{3}$．…（6分）
（2）在△ABD中，由正弦定理：$\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，
∴sin∠BAD=$\frac{BDsinB}{AD}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{4}$，…（8分）
∴cos∠BAC=cos2∠BAD=1-2sin²∠BAD=1-2×$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{8}$，…（10分）
∴sin∠BAC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAC}$=$\sqrt{1-（\frac{7}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．   …（12分）

點評 此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．