Question

1．如圖所示，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，CB的中點(diǎn)，EF∩AC=O，沿EF將△CEF翻折到△PEF，連接PA，PB，PD，得到五棱錐P-ABFED，且AP=$\sqrt{30}$，PB=$\sqrt{10}$．
（1）求證：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B-AP-O的正切值．

Answer 1

分析 （1）證明PO⊥BD，AO⊥BD，然后利用直線與平面垂直的判定定理證明即可；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-AP-O的正切值．

解答 證明：（1）因?yàn)槠矫鍼EF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD=EF，PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABD
則PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO?平面APO，PO?平面APO，
∴BD⊥平面APO，（6分）
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OF為y軸，OP為z軸，建立坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），A（3$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，2，0），…（8分）
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面OAP的一個(gè)法向量，
則$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）為平面ABP的一個(gè)法向量，
$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-3$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{3}x+2y=0}\\{-3\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=$\sqrt{3}$，z=3，
則$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，3）…．（10分）
cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{30}}{3}$…..（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查線直線垂直的判定以及二面角的應(yīng)用，建立坐標(biāo)性，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．