Question

11．某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時運(yùn)行，內(nèi)、外環(huán)線的長均為30km（忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異）．
（1）當(dāng)9列列車同時在內(nèi)環(huán)線上運(yùn)行時，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10min，求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；
（2）新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25km/h，外環(huán)線列車平均速度為30km/h．現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運(yùn)行，問：要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間之差最短，則內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運(yùn)行？

Answer 1

分析 （1）設(shè)內(nèi)環(huán)線列車的平均速度為v千米/小時，根據(jù)內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10分鐘，可得$\frac{30}{9v}$×60≤10，從而可求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度；
（2）設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x列列車運(yùn)行，則外環(huán)線投入（18-x）列列車運(yùn)行，分別求出內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間t₁=$\frac{30}{25x}$×60=$\frac{72}{x}$，t₂=$\frac{30}{30（18-x）}$×60=$\frac{60}{18-x}$．t=|t₁-t₂|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{72}{x}+\frac{60}{x-18}，x≤9，x∈{N}_{+}}\\{-（\frac{72}{x}+\frac{60}{x-18}），10≤x≤17，x∈{N}_{+}}\end{array}\right.$在（0，9）遞減，在（10，17）遞增，即可求得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)內(nèi)環(huán)線列車運(yùn)行的平均速度為v km/h，由題意可知$\frac{30}{9v}$×60≤10，所以v≥20．
所以，要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時間為10 min，列車的最小平均速度是20 km/h．
（2）設(shè)內(nèi)環(huán)線投入x列列車運(yùn)行，則外環(huán)線投入（18-x）列列車運(yùn)行，
內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間分別為t₁、t₂ min，
則t₁=$\frac{30}{25x}$×60=$\frac{72}{x}$，t₂=$\frac{30}{30（18-x）}$×60=$\frac{60}{18-x}$．
于是有t=|t₁-t₂|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{72}{x}+\frac{60}{x-18}，x≤9，x∈{N}_{+}}\\{-（\frac{72}{x}+\frac{60}{x-18}），10≤x≤17，x∈{N}_{+}}\end{array}\right.$
在（0，9）遞減，在（10，17）遞增．
又t（9）＞t（10），所以x=10，
所以當(dāng)內(nèi)環(huán)線投入10列，外環(huán)線投入8列列車運(yùn)行時，內(nèi)、外環(huán)線乘客最長候車時間之差最短．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是正確求出乘客最長候車時間．