Question

6．已知（x+$\frac{m}{x}$）ⁿ展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256
（1）求n；
（2）若展開式中常數(shù)項(xiàng)為$\frac{35}{8}$，求m的值；
（3）若展開式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）（x+$\frac{m}{x}$）ⁿ展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，可得2ⁿ=256，解得n即可得出．
（2）$（x+\frac{m}{x}）^{8}$的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{m}{x}）^{r}$=m^r${∁}_{8}^{r}$x^8-2r，令8-2r=0，解得r即可得出；
（3）$（x+\frac{m}{x}）^{8}$的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{m}{x}）^{r}$=m^r${∁}_{8}^{r}$x^8-2r，由于展開式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，可得m≠0，T₆=m⁵${∁}_{8}^{5}$x^-2，T₇=m⁶${∁}_{8}^{6}$x^-4，令系數(shù)相等解出即可得出．

解答 解：（1）∵（x+$\frac{m}{x}$）ⁿ展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，∴2ⁿ=256，解得n=8．
（2）$（x+\frac{m}{x}）^{8}$的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{m}{x}）^{r}$=m^r${∁}_{8}^{r}$x^8-2r，令8-2r=0，解得r=4．
∴m⁴${∁}_{8}^{4}$=$\frac{35}{8}$，解得m=$±\frac{1}{2}$．
（3）$（x+\frac{m}{x}）^{8}$的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{m}{x}）^{r}$=m^r${∁}_{8}^{r}$x^8-2r，
∵展開式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，∴m≠0，
T₆=m⁵${∁}_{8}^{5}$x^-2，T₇=m⁶${∁}_{8}^{6}$x^-4，令m⁵${∁}_{8}^{5}$=m⁶${∁}_{8}^{6}$，
解得m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．