Question

3．已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE=4EF，則$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}$的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{16}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{32}$

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，把$\overrightarrow{AF}$、$\overrightarrow{BC}$都用$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$表示，然后代入數(shù)量積公式，計(jì)算可得答案．

解答 解：如圖所示：∵D、E分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，且DE=4EF，∴EF=$\frac{1}{4}$DE=$\frac{1}{8}$，
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$）•$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{DE}$）•$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{5}{4}$•$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=（-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{5}{8}$$\overrightarrow{BC}$-$\frac{5}{8}$$\overrightarrow{BA}$）•$\overrightarrow{BC}$
=（$\frac{5}{8}$$\overrightarrow{BC}$-$\frac{9}{8}$$\overrightarrow{BA}$）•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{5}{8}$•${\overrightarrow{BC}}^{2}$-$\frac{9}{8}$•$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{5}{8}$-$\frac{9}{8}$•1•1•cos60°=$\frac{1}{16}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量加減法的三角形法則，是中檔題．