Question

2．已知函數$f（x）=\frac{e^x}{e}-lnx$．
（I）若f（x）在點（1，f（x））的切線l垂直于y軸，求切線l的方程；
（II）求f（x）的最小值；
（III）若關于x的不等式${e^{x-1}}+1-f（x）＞\frac{{k（{x-1}）}}{x}$在（1，+∞）恒成立，求整數k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數f（x）的定義域（0，+∞），求出函數的$f'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$，求出切線的斜率，然后求解切線方程．
（Ⅱ）判斷當x＞1時，當0＜x＜1時，導函數的符號，判斷函數的最小值位置，然后求解即可．
（Ⅲ）不等式恒成立轉化為：$1+lnx＞\frac{k（x-1）}{x}$，即$h（x）=\frac{x+xlnx}{x-1}＞k$恒成立，即h（x）的最小值大于k，求出函數的導數，通過記g（x）=x-2-lnx，判斷函數的最值，當x＞a時，判斷h'（x）符號，求解函數的最小值，可得正整數k的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定義域（0，+∞）），----------------------------------（1分）
由$f'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$，$f'（1）={e^{1-1}}-\frac{1}{1}\;\;=1-1=0$，-------------（2分）
所以x=1處的切線垂直于y軸，且f（1）=1，--------------------（3分）
即切線l的方程為y=1．-----------------------（4分）
（Ⅱ）由$f'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$，當x＞1時f'（x）＞0，-------------------------------（5分）
當0＜x＜1時f'（x）＜0，------------------------------------------------（6分）
故f（x）在x=1時，f（x）取最小值，---------------------------------（7分）
最小值f（1）=1．---------------------------------（8分）
（Ⅲ）由${e^{x-1}}+1-f（x）＞\frac{k（x-1）}{x}$，即$1+lnx＞\frac{k（x-1）}{x}$，
即$h（x）=\frac{x+xlnx}{x-1}＞k$恒成立．----------------------------（9分）
即h（x）的最小值大于k．---------------------------（10分）
$h'（x）=\frac{x-2-lnx}{{{{（x-1）}^2}}}＞k$，
記g（x）=x-2-lnx，
則當x∈（1，+∞）時$g'（x）=\frac{x-1}{x}＞0$，
所以，g（x）在（1，+∞）上單調遞增，-----------------------（11分）
又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0
∴g（x）=0存在唯一實根a，
且滿足a∈（3，4），g（a）=a-2-lna=0，a=2+lna，---------------------（12分）
當x＞a時，g（x）＞0，h'（x）＞0，當1＜x＜a時，g（x）＜0，h'（x）＜0，------（13分）
所以，$h{（x）_{min}}=h（a）=\frac{a+alna}{a-1}=\frac{a+a（a-2）}{a-1}=a∈（3，4）$，
故正整數k的最大值是3．------------------------------------（14分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，二次求導，構造法以及轉化思想的應用，考查分類討論思想的應用，難度比較大．