Question

【題目】圓周上有800個點(diǎn)，依順時針方向標(biāo)號為，它們將圓周分成800個間隙.今選定某一點(diǎn)染成紅色，然后按如下規(guī)則，逐次染紅其余的一些點(diǎn)：如果第號點(diǎn)已被染紅，則可按順時針方向轉(zhuǎn)過個間隙，再將所到達(dá)的那個端點(diǎn)染紅.如此繼續(xù)下去.試問圓周上最多可得到多少個紅點(diǎn)？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】25

【解析】

一般地，對一個有個點(diǎn)的圓周，我們把按題設(shè)規(guī)則所能染紅的點(diǎn)數(shù)的最大值記為.

若圓周上有個點(diǎn)，第一個被染紅的點(diǎn)的標(biāo)號為.

（1）若是一個偶數(shù)，那么，所有染紅的點(diǎn)的標(biāo)號均為偶數(shù)，其過程相當(dāng)于在一個有個點(diǎn)的圓周上，第一個染紅的點(diǎn)的標(biāo)號為的染點(diǎn)的過程，所以，兩圓周上所染紅的點(diǎn)數(shù)相同；

（2）若，其所染紅的第2個點(diǎn)的標(biāo)號為，是偶數(shù)，因此，其染紅的點(diǎn)數(shù)比有個點(diǎn)的圓周上第一個染紅的點(diǎn)的標(biāo)號為的染點(diǎn)的過程所得的紅點(diǎn)數(shù)多1.

綜上所述，得.

由此可得

.

對有25個點(diǎn)的圓周，不妨從1號點(diǎn)開始染紅，則可順次得標(biāo)號為1，2，4，8，16，7，14，3，6，12，24，23，21，17，9，18，11，22，19，13的20個紅點(diǎn)，故有.

反之，顯然若有 個紅點(diǎn)的標(biāo)號是5的倍數(shù)，則全部紅點(diǎn)的標(biāo)號均為5的倍數(shù).此時，紅點(diǎn)數(shù)小于或等于5.所以，達(dá)到最大值的染紅過程不含標(biāo)號為5的倍數(shù)的點(diǎn).從而，有，即.

因此，.