Question

在△ABC中，已知2acosB=c，sinAsinB（2-cosC）=sin²

C

2

+

1

2

，則△ABC為（　�。�

• A、等邊三角形
• B、等腰直角三角形
• C、銳角非等邊三角形
• D、鈍角三角形

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數的求值

分析：已知第一個等式利用正弦定理化簡，再利用誘導公式及內角和定理表示，根據兩角和與差的正弦函數公式化簡，得到A=B，第二個等式左邊前兩個因式利用積化和差公式變形，右邊利用二倍角的余弦函數公式化簡，將A+B=C，A-B=0代入計算求出cosC的值為0，進而確定出C為直角，即可確定出三角形形狀．

解答：解：將已知等式2acosB=c，利用正弦定理化簡得：2sinAcosB=sinC，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∵A與B都為△ABC的內角，
∴A-B=0，即A=B，
已知第二個等式變形得：sinAsinB（2-cosC）=

1

2

（1-cosC）+

1

2

=1-

1

2

cosC，
-

1

2

[cos（A+B）-cos（A-B）]（2-cosC）=1-

1

2

cosC，
∴-

1

2

（-cosC-1）（2-cosC）=1-

1

2

cosC，
即（cosC+1）（2-cosC）=2-cosC，
整理得：cos²C-2cosC=0，即cosC（cosC-2）=0，
∴cosC=0或cosC=2（舍去），
∴C=90°，
則△ABC為等腰直角三角形．
故選：B．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，積化和差公式，二倍角的余弦函數公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關鍵．