Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=alnx（a＞0），
（1）判斷f（x）+g（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）-g（x）=ax有唯一解，求a．
（3）設(shè)a=2，F(xiàn)（x）=g（x）-f（x）-bx，若函數(shù)F（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)m，n（0＜m＜n），且滿(mǎn)足2x₀=m+n，問(wèn)F（x）的圖象上存在點(diǎn)（x₀，F(xiàn)（x₀））處切線(xiàn)能否平行于x軸．若能，求出該切線(xiàn)方程，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，通過(guò)a＞0，x＞0，即可判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而判斷單調(diào)性；
（2）f（x）-g（x）=ax有唯一解即為l（x）=x²-alnx-ax=0有唯一解．求出l（x）的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，求得極小值也為最小值，則

l(x2)=0 l′(x2)=0

，整理化簡(jiǎn)得到2lnx₂+x₂-1=0，設(shè)函數(shù)r（x）=2lnx+x-1，則r（x）在x＞0時(shí)r（x）是增函數(shù)，則r（x）=0至多有一解．r（1）=0，即可求得a；
（3）先假設(shè)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））的切線(xiàn)平行于x軸，其中F（x）=2lnx-x²-kx．結(jié)合題意列出方程組，利用換元法導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，證出ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

在（0，1）上成立，從而出現(xiàn)與題設(shè)矛盾，說(shuō)明原假設(shè)不成立．由此即可得到函數(shù)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線(xiàn)不能平行于x軸．

解答： 解：（1）令h（x）=f（x）+g（x）=x²+alnx（x＞0），
h′（x）=2x+

a

x

，由于x＞0，a＞0，則h′（x）＞0恒成立，
則f（x）+g（x）在（0，+∞）遞增；
（2）f（x）-g（x）=ax即為x²-alnx=ax由唯一解，
令l（x）=x²-alnx-ax，即l（x）=0有唯一解．
令l′（x）=0，得2x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，
∴x₁=

a- a2+8a

4

（舍），x₂=

a+ a2+8a

4

，
當(dāng)x∈（0，x₂ ）時(shí)，l′（x）＜0，l（x）在（0，x₂ ）上是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時(shí)，l′（x）＞0，l（x）在（x₂，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
∴當(dāng)x=x₂時(shí)，l′（x₂）=0，l（x）_min=l（x₂ ），
∵l（x）=0有唯一解，∴l(xiāng)（x₂）=0．
則

l(x2)=0 l′(x2)=0

，即

x22-alnx2-ax2=0 2x22-ax2-a=0

，
∴2alnx₂+ax₂-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，
設(shè)函數(shù)r（x）=2lnx+x-1，
∵在x＞0時(shí)r（x）是增函數(shù)，∴r（x）=0至多有一解．
∵r（1）=0，∴方程①的解為x₂=1，即

a+ a2+4a

2

=1，解得a=

1

2

；
（3）設(shè)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））的切線(xiàn)平行于x軸，
其中F（x）=2lnx-x²-bx，F(xiàn)′（x）=

2

x

-2x-b．
結(jié)合題意，有
2lnm-m²-bm=0①，2lnn-n²-bn=0②，m+n=2x₀③，

2

x0

-2x₀-b=0④
①-②得2ln

m

n

-（m+n）（m-n）=b（m-n），
所以b=

2ln m n

m-n

-2x₀，
由④得b=

2

x0

-2x₀
所以ln

m

n

=

2(m-n)

m+n

=

2( m n -1)

m n +1

⑤
設(shè)u=

m

n

∈（0，1），得⑤式變?yōu)閘nu-

2u-2

u+1

=0（u∈（0，1）），
設(shè)y=lnu-

2u-2

u+1

（u∈（0，1）），可得y′=

1

u

-

4

(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

＞0，
所以函數(shù)y=lnu-

2u-2

u+1

在（0，1）上單調(diào)遞增，
因此，y＜y|_u=1=0，即lnu-

2u-2

u+1

＜0，
也就是ln

m

n

＜

2( m n -1)

m n +1

此式與⑤矛盾
所以函數(shù)F（x）在（x₀，F(xiàn)（x₀））處的切線(xiàn)不能平行于x軸．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有對(duì)數(shù)符號(hào)的基本初等函數(shù)函數(shù)，討論了函數(shù)的單調(diào)性并探索函數(shù)圖象的切線(xiàn)問(wèn)題，著重考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．