Question

已知函數(shù)y=lg（3-4x+x²）的定義域?yàn)镸，函數(shù)f（x）=2^x+2-3×4^x．
（1）求集合M．
（2）當(dāng)x∈M時(shí)，求f（x）=2^x+2-3×4^x的最大值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可知3-4x+x²＞0，從而解出集合M；
（2）由題意，利用換元法求函數(shù)的最大值及最大值點(diǎn)；

解答： 解：（1）∵y=lg（3-4x+x²），
∴3-4x+x²＞0，
解得：M={x＜1或x＞3}，
∴M={x＜1或x＞3}．
（2）由f（x）=2^x+2-3×4^x=4×2^x-3×（2^x）²
令2^x=t，
∵M(jìn)={x＜t或x＞3}，∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（x）=y=4t-3t²=-3（t-

2

3

）²+

4

3

，（t＞8或0＜t＜2）
由二次函數(shù)性質(zhì)可知：
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，f（x）∈（-4，

4

3

]，
當(dāng)t＞8時(shí)，f（x）∈（-∞，-160）；
當(dāng)2^x=t=

2

3

，即x=log₂

2

3

時(shí)，f（x）=

4

3

．
綜上可知：當(dāng)x=log₂

2

3

時(shí)，f（x）取到最大值為

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域與最值的求法，屬于基礎(chǔ)題．