Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{x+1}+a（x＞-1）}\\{{x}^{2}-2ax（x≤-1）}\end{array}\right.$的最小值為-6，則實(shí)數(shù)a的值為-$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 對(duì)x討論，x＞-1時(shí)，運(yùn)用換元法和基本不等式，可得最小值a；當(dāng)x≤-1時(shí)，運(yùn)用配方，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值．由題意討論a=-6或1+2a=-6或-a²=-6，求得最小值比較即可得到所求a的值．

解答 解：當(dāng)x＞-1時(shí)，x+1＞0，設(shè)t=x+1，即x=t-1，
f（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+1}$+a=$\frac{（t-1）^{2}}{t}$+a=t+$\frac{1}{t}$-2+a≥2$\sqrt{t•\frac{1}{t}}$-2+a=a，
當(dāng)且僅當(dāng)t=1即x=0時(shí)，取得最小值a；
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²，
當(dāng)a＞-1時(shí)，f（x）在（-∞，-1]遞減，可得x=-1時(shí)，f（x）取得最小值1+2a；
當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在x=a處取得最小值-a²．
由題意可得當(dāng)a=-6時(shí)，即有-6≤-1，-a²=-36＜-6，
則a=-6不為最小值，不成立；
當(dāng)-a²=-6，可得a=±$\sqrt{6}$，由a≤-1，可得a=-$\sqrt{6}$．
且-$\sqrt{6}$＞-6成立；
當(dāng)1+2a=-6，解得a=-$\frac{7}{2}$＜-1，不成立．
綜上可得，a=-$\sqrt{6}$．
故答案為：-$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 題考查分段函數(shù)的應(yīng)用：求最值，注意運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法，運(yùn)用基本不等式和二次函數(shù)的最值求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．