Question

11．已知函數(shù)f（x）=a^x-x（a＞0，a≠1），若a＞1，方程f（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，${e}^{\frac{1}{e}}$）．

Answer 1

分析 由f（x）=a^x-x=0得a^x=x，構(gòu)造函數(shù)g（x）=a^x，h（x）=x，若方程f（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)為g（x）過(guò)原點(diǎn)的切線斜率小于1，即可．

解答 解：由f（x）=a^x-x=0得a^x=x，
設(shè)g（x）=a^x，h（x）=x，
當(dāng)g（x）與h（x）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（m，a^m），
則g′（x）=a^xlna，切線斜率k=g′（m）=a^mlna
則切線方程為y-a^m=a^mlna（x-m），
若切線過(guò)原點(diǎn)，則-a^m=-ma^mlna，
即mlna=1，則m=$\frac{1}{lna}$=log_ae，
此時(shí)切線斜率k=g′（log_ae）=a${\;}^{lo{g}_{a}e}$lna=elna，
若a＞1，方程f（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
則切線斜率k=elna＜1，
即lna＜$\frac{1}{e}$，
∵a＞1，
∴1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，${e}^{\frac{1}{e}}$），
故答案為：（1，${e}^{\frac{1}{e}}$）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的切線斜率關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．