Question

6．已知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，公差與公比均為2，并且a₂+a₄=a₁+a₅，a₇+a₉=a₈．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求使得a_m•a_m+1•a_m+2=a_m+a_m+1+a_m+2成立的所有正整數(shù)m的值．
（Ⅲ）在數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項中任取s項，偶數(shù)項中任取k項（s＞1，k＞1，s、k∈N^*），按照某一順序排列后成等差數(shù)列，當(dāng)s+k取最大值時，求所有滿足條件的數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)已知條件，求解該數(shù)列的前兩項，可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據(jù)所給的等式確定m的值，
（Ⅲ）易知取出的數(shù)列中相鄰的項必定一個是奇數(shù)、一個是偶數(shù)，進而討論即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列，公差與公比均為2，
∴a₅=a₁+4，a₇=a₁+6，a₉=a₁+8，a₄=2a₂，a₈=8a₂，
∵a₂+a₄=a₁+a₅，a₇+a₉=a₈，
∴a₂+2a₂=a₁+4+a₁，2a₁+14=8a₂，
∴a₁=1，a₂=2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{{2}^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）∵a_m•a_m+1•a_m+2=a_m+a_m+1+a_m+2成立，
∴由上面可以知數(shù)列{a_n}為：1，2，3，4，5，8，7，16，9，…
當(dāng)m=1時等式成立，即 1+2+3=-6=1×2×3；等式成立．
當(dāng)m=2時等式成立，即2×3×4≠2+3+4；等式不成立．
當(dāng)m=3、4時等式不成立；
當(dāng)m≥5時，
∵a_m•a_m+1•a_m+2為偶數(shù)，a_m+a_m+1+a_m+2為奇數(shù)，
∴可得m取其它值時，不成立，
∴m=1時成立；
（Ⅲ）設(shè)奇數(shù)項取了s項，偶數(shù)項取了k項，其中s，k∈N*，s≥2，k≥2．
因為數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項均為奇數(shù)，偶數(shù)項均為偶數(shù)，
因此，若抽出的項按照某種順序構(gòu)成等差數(shù)列，
則該數(shù)列中相鄰的項必定一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)．
假設(shè)抽出的數(shù)列中有三個偶數(shù)，則每兩個相鄰偶數(shù)的等差中項為奇數(shù)．
設(shè)抽出的三個偶數(shù)從小到大依次為2ⁱ，2^j，2^p（1≤i＜j＜p），
則$\frac{2i+2j}{2}$=2^i-1+2^j-1為奇數(shù)，而i≥1，j≥2，則2^j-1為偶數(shù)，2^i-1為奇數(shù)，所以i=1．
又$\frac{2j+2p}{2}$=2^j-1+2^p-1為奇數(shù)，而j≥2，p≥3，則2^j-1與2^p-1均為偶數(shù)，矛盾．
又因為k≥2，所以k=2，即偶數(shù)只有兩項，
則奇數(shù)最多有3項，即s+k的最大值為5．               
設(shè)此等差數(shù)列為d₁，d₂，d₃，d₄，d₅，則d₁，d₃，d₅為奇數(shù)，d₂，d₄為偶數(shù)，且d₂=2．
由d₁+d₃=2d₂=4，得d₁=1，d₃=3，此數(shù)列為1，2，3，4，5．
同理，若從大到小排列，此數(shù)列為5，4，3，2，1．
綜上，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的項數(shù)最大時，滿足條件的數(shù)列為1，2，3，4，5和5，4，3，2，1．

點評 本題重點考查了等差數(shù)列的概念和基本性質(zhì)、等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是準確應(yīng)用等差和等比數(shù)列的基本性質(zhì)求解問題，屬于難題．