Question

18．如圖，設(shè)△ABC的個內(nèi)角A、B、C對應(yīng)的三條邊分別為a、b、c，且角A、B、C成等差數(shù)列，a=2，線段AC的垂直平分線分別交線段AB、AC于D、E兩點．
（1）若△BCD的面積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求線段CD的長；
（2）若DE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求角A的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，求出B的度數(shù)，再根據(jù)三角的面積公式求出BD，再根據(jù)余弦定理即可求出，
（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AC=2AE=$\frac{\sqrt{6}}{tanA}$，再根據(jù)正弦定理，即可求出答案．

解答 解：（1）三角形的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
則有2B=A+C．又A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵△BCD的面積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a=2
∴$\frac{1}{2}$BD•BC•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BD=$\frac{2}{3}$，
由余弦定理，CD²=BD²+BC²+2BD•BC•cos60°=$\frac{4}{9}$+4+2×$\frac{2}{3}$×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{4×13}{9}$，
∴CD=$\frac{2\sqrt{13}}{3}$，
（2）∵線段AC的垂直平分線分別交線段AB、AC于D、E兩點，DE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AE=$\frac{DE}{tanA}$，
∴AC=2AE=2×$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{tanA}$=$\frac{\sqrt{6}}{tanA}$，
由正弦定理可得$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$，
即$\frac{2}{sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{tanA}}{sin60°}$，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜A＜180°，
∴A=45°

點評 本題主要考察了正弦定理余弦定理三角形的面積公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．