Question

7．過拋物線y²=4x的焦點，引傾斜角為60°的直線，交拋物線于A、B兩點，則△OAB的面積為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$y代入y²=4x得：y²-$\frac{3\sqrt{3}}{3}$y-4=0，S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|，由此能求出△OAB的面積．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
過F且傾斜角為60°的直線y=$\sqrt{3}$（x-1），
即x=1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$y代入y²=4x得：y²-$\frac{3\sqrt{3}}{3}$y-4=0，∴y₁+y₂=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，y₁y₂=-4，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{48}{9}+16}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
故答案為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，直線與拋物線的位置關系．在涉及焦點弦的問題時常需要把直線與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理設而不求，進而利用拋物線的定義求得問題的答案．