Question

4．已知數(shù)列{a_n}，a_n=3a_n-1-2，n∈N^*，n≥2，給定一個(gè)實(shí)數(shù)a₀，取a₁=3a₀-2，若數(shù)列{a_n}的第n項(xiàng)開始滿足a_n＞2014，則a₀的取值范圍是$（1+\frac{2013}{{3}^{n}}，+∞）$．

Answer 1

分析 a_n=3a_n-1-2，n∈N^*，n≥2，變形為：a_n-1=3（a_n-1-1），a₁≠1時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，可得：a_n=1+3ⁿ（a₀-1），若數(shù)列{a_n}的第n項(xiàng)開始滿足a_n＞2014，于是1+3ⁿ（a₀-1）＞2014，解出即可得出．

解答 解：a_n=3a_n-1-2，n∈N^*，n≥2，
變形為：a_n-1=3（a_n-1-1），
∴a₁=1時(shí)，a_n=1，舍去．
a₁≠1時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₁-1，公比為3．
∴a_n-1=（a₁-1）×3^n-1，取a₁=3a₀-2，
∴a_n=1+3ⁿ（a₀-1），
若數(shù)列{a_n}的第n項(xiàng)開始滿足a_n＞2014，
則1+3ⁿ（a₀-1）＞2014，
∴a₀＞1+$\frac{2013}{{3}^{n}}$
∴a₀的取值范圍是$（1+\frac{2013}{{3}^{n}}，+∞）$．
故答案為：$（1+\frac{2013}{{3}^{n}}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題