Question

8．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為4，動點E，F(xiàn)在棱A₁B₁上，動點P，Q分別在棱AB，CD上，若EF=2，現(xiàn)有以下五種說法：
①四面體PEFQ的體積與P，Q點的位置無關(guān)
②△EFQ的面積為定值
③四面體PEFQ的體積與點P的位置有關(guān)，與點Q的位置無關(guān)
④四面體PEFQ的體積為正方體體積的$\frac{1}{12}$
⑤點P到平面EFQ的距離隨著P的變化而變化
其中正確的序號是①②④．

Answer 1

分析 由長方體的結(jié)構(gòu)特征可知△EFP的面積為定值，Q到平面ABB₁A₁的距離為定值4，計算出四面體的體積和正方體的體積進行判斷．

解答 解：∵CD∥平面EFP，∴Q到平面EFP的距離等于D到平面EFP的距離AD=4．
而S_△EFP=$\frac{1}{2}EF×A{A}_{1}$=$\frac{1}{2}×2×4$=4．
∴V_Q-EFP=$\frac{1}{3}{S}_{△EFP}•AD$=$\frac{1}{3}×4×4$=$\frac{16}{3}$．
∵正方體體積V_正方體=4³=64，∴V_Q-EFP=$\frac{1}{12}$V_正方體．
故①正確，③錯誤，④正確．
∵CD∥A₁B₁，∴Q到直線A₁B₁的距離h為定值，而EF為定值，故△EFQ的面積為定值，故②正確．
又∵四面體PEFQ的體積為定值，∴點P到平面EFQ的距離為定值，故⑤錯誤．
故答案為：①②④．

點評 本題考查了長方體的結(jié)構(gòu)特征，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．