Question

已知f（x）=x²-2ax+3，求f（x）在區(qū)間[1，5]上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：將f（x）配方得：f（x）=（x-a）²+3-a²，所以對稱軸是x=a，所以討論對稱軸x=a和區(qū)間[1，5]的關系：有三種關系：（1）對稱軸在區(qū)間的右邊，（2）對稱軸在區(qū)間上，（3）對稱軸在區(qū)間左邊，為便于比較f（1），f（3）的大小，第二種情況又分為在區(qū)間（1，

5

2

]，和區(qū)間（

5

2

，5）上，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及頂點求出每種情況下的f（x）的最大值，最小值即可．

解答： 解：f（x）=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²；
①若a≥5，則函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，所以：
f（x）的最大值為f（1）=4-2a，f（x）的最小值為f（5）=25-10a；
函數(shù)的值域是：[25-10a，4-2a]；
②若1＜a≤

5

2

，f（x）的最大值為f（5）=25-10a，最小值為f（a）=3-a²；
函數(shù)的值域是：[3-a²，25-10a]；
③若

5

2

＜a＜5，f（x）的最大值是f（1）=4-2a，最小值為f（a）=3-a²；
函數(shù)的值域是：[3-a²，4-2a]；
④若a≤1，則f（x）在[1，5]上單調(diào)遞增，所以：
f（x）的最大值為f（5）=25-10a，最小值為f（1）=4-2a，
函數(shù)的值域是：[4-2a，25-10a]．

點評：考查根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點的情況求二次函數(shù)最值的方法，以及二次函數(shù)單調(diào)性和對稱軸的關系．