Question

設(shè)已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

 

（1）?x₀∈R，f（x₀）=0
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=x³的圖象經(jīng)過(guò)平移變換而得
（3）若x₀是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間（-∞，x₀）單調(diào)遞減
（4）若x₀是f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x₀）=0．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對(duì)于（1），對(duì)于三次函數(shù)f （x ）=x³+ax²+bx+c，由于當(dāng)x→-∞時(shí)，y→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，y→+∞，即可判斷；對(duì)于（2）：因?yàn)楹瘮?shù)f （x ）=x³+ax²+bx+c，都可能經(jīng)過(guò)中心對(duì)稱圖形的y=x³的圖象平移得到，即可判斷；對(duì)于（3）：采用取特殊函數(shù)的方法，若取a=-1，b=-1，c=0，則f（x）=x³-x²-x，利用導(dǎo)數(shù)研究其極值和單調(diào)性進(jìn)行判斷；對(duì)于（4）：若x₀是f（x）的極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，則f′（x₀ ）=0，即可判斷．

解答： 解：對(duì)于三次函數(shù)f （x ）=x³+ax²+bx+c，
對(duì)于（1）：由于當(dāng)x→-∞時(shí)，y→-∞，
當(dāng)x→+∞時(shí)，y→+∞，
故?x₀∈R，f（x₀）=0，故（1）正確；
對(duì)于（2）：∵f（-

2a

3

-x）+f（x）=（-

2a

3

-x）³+
a（-

2a

3

-x）²+b（-

2a

3

-x）+c+x³+ax²+bx+c
=

4a3

27

-

2ab

3

+2c，
f（-

a

3

）=（-

a

3

）³+a（-

a

3

）²+b（-

a

3

）+c=

2a3

27

-

ab

3

+c，
∵f（-

2a

3

-x）+f（x）=2f（-

a

3

），
∴點(diǎn)P（-

a

3

，f（-

a

3

））為對(duì)稱中心，
但三次函數(shù)圖象的形狀是由三次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)一起決定的，
則f（x）的圖象不一定可以經(jīng)過(guò)中心對(duì)稱圖形的y=x³的圖象平移得到．
比如y=x³+x經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，就不能由y=x³平移得到．故（2）錯(cuò)誤；
對(duì)于（3）：若取a=-1，b=-1，c=0，則f（x）=x³-x²-x，對(duì)于f（x）=x³-x²-x，
∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈（-

1

3

，1）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），減區(qū)間為：（-

1

3

，1），
故1是f（x）的極小值點(diǎn)，但f（x ）在區(qū)間（-∞，1）不是單調(diào)遞減，故（3）錯(cuò)；
對(duì)于（4）：若x₀是f（x）的極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，則f′（x₀ ）=0，故（4）正確．
故答案為：（2）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三次函數(shù)的零點(diǎn)和極值以及等差問(wèn)題，考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值中的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．