Question

已知函數(shù)

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）試用函數(shù)單調(diào)性定義說明函數(shù)在區(qū)間和上的增減性；

（3）若滿足：，試證明：．

 

Answer 1

（1）偶函數(shù)，（2）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）判定函數(shù)奇偶性，首先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再判斷與的相等或相反關(guān)系.本題定義域為一切實數(shù)，關(guān)于原點對稱.函數(shù)為分段函數(shù)，需分類討論. 當時，，.當時，，.故為偶函數(shù).（2）利用定義研究函數(shù)單調(diào)性，需注重作差后的變形，關(guān)鍵是提取公因式，進行因式分解，以便判斷符號.（3）由于是同區(qū)間的兩個任意數(shù)，所以只需證，從而本題實質(zhì)為求函數(shù)最值.由函數(shù)奇偶性及單調(diào)性知：

，所以成立.

試題解析：【解析】
（1）∵當時，，∴

∴ 2分

∵當時，，∴

∴ 4分

∴對都有，故為偶函數(shù) 5分

（2）當時，

設(shè)且，則 7分

∴當時，即

當時，即 9分

∴函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù) 11分

（3）由（2）可知，當時：

若，則即

若，則即

∴當時，有 12分

又由（1）可知為偶函數(shù)，∴當時，有 13分

∴若，時，則， 14分

∴，即 15分

考點：分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.