Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$（a＞0，b＞0）為奇函數(shù)．
（1）求a與b的值；
（2）判斷并用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再求不等式f（x）＞-$\frac{1}{6}$的解集．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由于函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$=$\frac{-{2}^{-x}+a}{{2}^{-x+1}+b}$，對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都成立，對(duì)其變形可得（2a-b）-2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都成立，進(jìn)而分析可得$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{2ab-4=0}\end{array}\right.$，解并檢驗(yàn)可得a、b的值，
（2）由（1）可得a、b的值，即可得函數(shù)f（x）的解析式，利用定義法證明可得f（x）為R上的減函數(shù)；進(jìn)而分析可得f（1）=-$\frac{1}{6}$，結(jié)合題意，可以將f（x）＞-$\frac{1}{6}$轉(zhuǎn)化為f（x）＞f（1），由函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，得f（-x）=-f（x），
即-$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+b}$=$\frac{-{2}^{-x}+a}{{2}^{-x+1}+b}$，對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x都成立，
整理得（2a-b）-2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都成立，
即有$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{2ab-4=0}\end{array}\right.$，
解可得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
經(jīng)檢驗(yàn)$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.$符合題意．
（2）由（1）可知，f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），
易判斷f（x）為R上的減函數(shù)．
證明如下：設(shè)任意的實(shí)數(shù)x₁、x₂且滿足x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
又由y=2^x在R上遞增且函數(shù)值大于0，
則有f（x₁）-f（x₂）＞0，
則函數(shù)f（x）在R是的減函數(shù)；
對(duì)于f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$=$\frac{1}{2}$（-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$），有f（1）=-$\frac{1}{6}$，
f（x）＞-$\frac{1}{6}$，即f（x）＞f（1），
又由函數(shù)為減函數(shù)，
則必有x＜1，
即不等式f（x）＞-$\frac{1}{6}$的解集為{x|x＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判定與應(yīng)用，涉及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，（2）的關(guān)鍵是求出f（1）=-$\frac{1}{6}$．