Question

【題目】如圖（一），在直角梯形中，，，，是的中點，將沿折起，使點到達點的位置得到圖（二），點為棱上的動點.

（1）當在何處時，平面平面，并證明；

（2）若，，證明：點到平面的距離等于點到平面的距離，并求出該距離.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先判斷出點為棱中點時，平面平面；再根據面面垂直的判定定理即可得出結論成立；

（2）先由(1)得到平面平面，且交線為，再過點作交的延長線于點，從而可得就是點到底面的距離，最后由，即可求出結果.

解：（1）當點為棱中點時，平面平面.

證明如下：

在圖（一）的直角梯形中，，，，是的中點，

所以.

在圖（二）中，有，，，平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以.

又，所以.

由于，

為的中點，

所以.

又因為，平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（2）圖（一）中，由及條件關系，

得，

由（1）的證明可知，在圖（二）中有平面.

所以平面平面，且交線為，

所以過點作交的延長線于點，

由平面平面，可知平面，

所以就是點到底面的距離.

由知，

所以.

設點到平面的距離為，

由，

得 ，

即，

即得點到平面的距離等于點到平面距離，且為.