Question

20．如圖1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，對角線BD與EF交于O點，沿EF將矩形ABFE折起，使平面ABFE與平面EFCD所成角為60°．在圖2中：
（1）求證：BO⊥DO；
（2）求平面DOB分割三棱柱AED-BFC所得上部分的體積．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理分別求出OD，OB，BD，利用勾股定理的逆定理即可證出結(jié)論；
（2）截面上部分是一個四棱錐D-ABOE，底面為直角梯形，高為底面等邊三角形的高．

解答 （1）證明：∵BF$\stackrel{∥}{=}$DE，∴△OED≌△OFB，
∴OE=OF=$\frac{1}{2}$AB=1，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，連結(jié)BC，BD，
∵EF⊥BF，EF⊥CF，∴∠BFC為平面ABFE與平面EFCD所成角，
∴∠BFC=60°，又BF=BC，
∴△BFC是等邊三角形，∴BC=BF=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴OD²+OB²=BD²，
∴BO⊥DO．
（2）解：取AE的中點H，連結(jié)DH，則DH⊥平面ABFE，且DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}AE$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴V_D-ABOE=$\frac{1}{3}$S_梯形ABOE•DH=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，二面角的定義，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．