Question

8．已知長方形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$，AB=2，E為AB中點．將△ADE沿DE折起到△PDE，得到四棱錐P-BCDE，如圖所示．
（1）若點M為PC中點，求證：BM∥平面PDE；
（2）當平面PDE⊥平面BCDE時，求四棱錐P-BCDE的體積；
（3）求證：DE⊥PC．

Answer 1

分析 （1）取PD的中點F，連接EF，F(xiàn)M，由中位線定理及平行四邊形判定定理易得四邊形EFMB是平行四邊形，進而BM∥EF，再由線面垂直的判定定理，即可得到BM∥平面PDE；
（2）以A為原點，分別以AB，AD為x，y軸正方向建立直角坐標系，連接AC，設AC交DE于點H，利用$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DE}$=0，可得PH⊥DE，從而可求PH是四棱錐P-BCDE的高，利用體積公式，即可求四棱錐P-BCDE的體積；
（3）由（2）可得PH⊥DE，CH⊥DE，PH∩CH=H，即可證明DE⊥平面PHC，又PC?平面PHC，從而證明DE⊥PC．

解答 （本題滿分為14分）
證明：（1）如圖1，取PD的中點F，連接EF，F(xiàn)M，
由條件知：FM平行且等于DC的一半，EB平行且等于DC的一半，
∴FM∥EB，且FM=EB，
則四邊形EFMB是平行四邊形，
則BM∥EF，
∵BM?平面PDE，EF?平面PDE，
∴BM∥平面PDE．
（2）如圖2，以A為原點，分別以AB，AD為x，y軸正方向建立直角坐標系，連接AC，設AC交DE于點H，
∵長方形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$，AB=2，E為AB中點．
∴可得：A（0，0），C（2，$\sqrt{2}$），E（1，0），D（0，$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}$=（2，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{DE}$=（1，-$\sqrt{2}$），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DE}$=2×1+$\sqrt{2}×$（-$\sqrt{2}$）=0，可得：AC⊥DE，
∴AH⊥DE，CD⊥DE，
∴由平面PDE⊥平面BCDE，可得：PH⊥平面BCDE，則PH是四棱錐P-BCDE的高，
由已知可得，在△PDE中，PD=$\sqrt{2}$，PE=1，則PH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵四邊形BCDE是直角梯形，BE=1，DC=2，BC=$\sqrt{2}$，可得：四邊形BCDE的面積S=$\frac{（1+2）×\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴四棱錐P-BCDE的體積V=$\frac{1}{3}$S•PH=$\frac{1}{3}×$$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）∵由（2）可得：AH⊥DE，CH⊥DE，
∴PH⊥DE，CH⊥DE，PH∩CH=H，
∴可得：DE⊥平面PHC，PC?平面PHC，
∴DE⊥PC．

點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間直線與平面位置關系的定義、判定定理、性質定理是解答本題的關鍵．