Question

8．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求直線PB與平面ABCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用線面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，進(jìn)一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2）由已知可得四邊形ABCD為平行四邊形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，則四邊形ABCD為矩形，設(shè)PA=AB=2a，則AD=2$\sqrt{2}$a．取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO、OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PB與平面ABCD所成角．

解答 證明：（1）∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
解：（2）∵AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，則四邊形ABCD為矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD為等腰直角三角形，
設(shè)PA=AB=2a，則AD=2$\sqrt{2}$a．
取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)E，連接PO、OE，
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（$\sqrt{2}a$，2a，0），P（0，0，$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}a，2a，-\sqrt{2}a$），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)直線PB與平面ABCD所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{8}a}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=30°．
∴直線PB與平面ABCD所成角為30°．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求線面角，是中檔題．