Question

3．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點(diǎn)為F（1，0）．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出a、b的值即可；
（2）討論直線MN的斜率是否存在，設(shè)出MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$，求出直線的斜率k，即可求出直線l的方程．

解答 解：（1）依題意橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點(diǎn)為F（1，0）．得，c=1，
∴$\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=$\sqrt{2}$，則b=1；…（2分）
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；…（4分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x=1，不符題意；…（5分）
②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y=k（x-1）；…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消去y得：[1+2k²]x²-4k²x+2（k²-1）=0，…（8分）
∴x₁+x₂=$\frac{4{x}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$；…（10分）
∴y₁•y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=$\frac{-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$；
又∵$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=0$；
∴x₁•x₂+y₁y₂=$\frac{{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$=0，
解得k=±$\sqrt{2}$，…（13分）
∴直線l的方程為：y=±$\sqrt{2}$（x-1）．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直線與橢圓的應(yīng)用問(wèn)題，根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．