Question

2．已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f（x）滿足f（0）=f（1）．
（1）若f（x）=ax²+x，解不等式$\left|{f（x）}\right|＜ax+\frac{3}{4}$；
（2）若任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂時(shí)，有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，求證：$\left|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}\right|＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明．

解答 解：（1）f（0）=f（1），即a+1=0，得a=-1，
所以不等式化為|-x²+x|＜-x+$\frac{3}{4}$．
①當(dāng)x＜0時(shí)，不等式化為${x^2}-x＜-x+\frac{3}{4}$，所以$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜x＜0$；…（2分）
②當(dāng)0≤x≤1時(shí)，不等式化為-x²+x＜-x+$\frac{3}{4}$，所以$0≤x＜\frac{1}{2}$；…（3分）
③當(dāng)x＞1時(shí)，不等式化為${x^2}-x＜-x+\frac{3}{4}$，所以x∈∅…（4分）
綜上所述，不等式的解集為$\left\{{x|-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\right\}$，…（5分）
（2）由已知任意x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂，則不妨設(shè)x₂＞x₁，
則當(dāng)${x_2}-{x_1}≤\frac{1}{2}$時(shí)，$\left|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}\right|＜\left|{{x_1}-{x_2}}\right|≤\frac{1}{2}$，…（7分）
當(dāng)${x_2}-{x_1}＞\frac{1}{2}$時(shí)，則${x_1}＜\frac{1}{2}$，且 $1-{x_2}＜\frac{1}{2}$，…（8分）
那么$\left|{f（{x_1}）-f（0）}\right|+\left|{f（1）-f（{x_2}）}\right|＜{x_1}-0+1-{x_2}=1-（{x_2}-{x_1}）＜\frac{1}{2}$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．