Question

7．梯形ABCD中，AB∥CD，AB=6，AD=DC=2，若$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-12．

Answer 1

分析 以AD所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立直角坐標系，由平行線的性質(zhì)定理可得OD=1，運用勾股定理進而得到OC，OD，求得A，B，C，D的坐標，由向量的數(shù)量積的坐標表示，計算即可得到．

解答 解：以AD所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，建立直角坐標系，
由AB∥CD可得，$\frac{OD}{OA}$=$\frac{CD}{BA}$，
即為$\frac{OD}{OD+2}$=$\frac{2}{6}$，解得OD=1，
可得OC=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，OB=$\sqrt{36-9}$=3$\sqrt{3}$，
即有A（3，0），D（1，0），B（0，3$\sqrt{3}$），C（0，$\sqrt{3}$），
則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（-3，$\sqrt{3}$）•（1，-3$\sqrt{3}$）=-3•1+$\sqrt{3}$•（-3$\sqrt{3}$）=-12．
故答案為：-12．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的求法，注意運用坐標法，同時考查向量的數(shù)量積的坐標表示，以及平行線的性質(zhì)定理，考查運算能力，屬于中檔題．