Question

在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足

OC

=

1

3

OA

+

2

3

OB

（Ⅰ）求證：A、B、C三點共線；
（Ⅱ）求

| AC |

| CB |

的值；
（Ⅲ）已知A（1，cosx）、B（1+cosx，cosx），x∈[0，

π

2

]f(x)=

OA

•

OC

-(2m+

2

3

)|

AB

|的最小值為-

3

2

，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求證：A、B、C三點共線，可證由三點組成的兩個向量共線，由題設條件不難得到；
（II）由（Ⅰ）

AC

=

2

3

AB

變形即可得到兩向量模的比值；
（Ⅲ）求出f(x)=

OA

•

OC

-(2m+

2

3

)|

AB

|的解析式，判斷其最值取到的位置，令其最小值為-

3

2

，由參數(shù)即可，

解答：解：（Ⅰ）由已知

OC

-

OA

=

2

3

(

OB

-

OA

)，即

AC

=

2

3

AB

，
∴

AC

∥

AB

．又∵

AC

、

AB

有公共點A，∴A，B，C三點共線．（3分）
（Ⅱ）∵

AC

=

2

3

AB

=

2

3

(

AC

+

CB

)，∴

1

3

AC

=

1

3

CB

∴

AC

=2

CB

，∴

| AC |

| CB |

=2．（6分）
（Ⅲ）∵C為

AB

的定比分點，λ=2，∴C(1+

2

3

cosx，cosx)，

AB

=(cosx，0)
∴f(x)=

OA

•

OC

-(2m+

2

3

)•|

AB

|=1+

2

3

cosx+cos2x-(2m+

2

3

)cosx=(cosx-m)2+1-m2
∵x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]（8分）
當m＜0時，當cosx=0時，f（x）取最小值1與已知相矛盾；（9分）
當0≤m≤1時，當cosx=m時，f（x）取最小值1-m²，得m=±

10

2

（舍）（10分）
當m＞1時，當cosx=1時，f（x）取得最小值2-2m，得m=

7

4

＞1（11分）
綜上所述，m=

7

4

為所求．（12分）

點評：本題考查三點共線的證明方法及三角函數(shù)的最值的運用向量與三角相結合，綜合性較強，尤其本題中在判定最值時需要分類討論的，對思考問題的嚴密性一個挑戰(zhàn)．