Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n與通項(xiàng)a_n滿足S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}{a_n}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)f（x）=log₃x，b_n=a_nf（a_n），求{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解�。�1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{3}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
又S_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n，從而有${a_n}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a_n}）-（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a_{n-1}}）$，
即：$an=\frac{1}{3}{a_{n-1}}$．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{1}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
故${a_n}=\frac{1}{3^n}$．
（2）由題意得$bn=（-n）•\frac{1}{3^n}$，
故S_n=b₁+b₂+…+b_n=-$（\frac{1}{3}+2×\frac{1}{{3}^{2}}+…+n×\frac{1}{{3}^{n}}）$，
$\frac{1}{3}$S_n=-$[\frac{1}{{3}^{2}}+2×\frac{1}{{3}^{3}}+…+（n-1）×\frac{1}{{3}^{n}}+n×\frac{1}{{3}^{n+1}}]$，
兩式相減可得$\frac{2}{3}$S_n=-$（\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}-n×\frac{1}{{3}^{n+1}}）$=-$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$+n×$\frac{1}{{3}^{n+1}}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{2n+3}{2×{3}^{n+1}}$，
則S_n=-$\frac{3}{4}$+$\frac{2n+3}{4×{3}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．