Question

17．已知f（x）=x²-2kx-3k²．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為∅，求k的取值范圍；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)不等式f（x）＜0的解集為∅，得出△≤0，求出k的取值范圍；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）＜0化為x²-2kx-3k²＜0，討論k的取值，求出對應(yīng)不等式的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2kx-3k²，且不等式f（x）＜0的解集為∅，
即x²-2kx-3k²＜0的解集為∅，
∴△=4k²+12k²≤0，
解得k=0，
∴k的取值范圍是k=0；
（2）關(guān)于x的不等式f（x）＜0可化為x²-2kx-3k²＜0，
且△=4k²+12k²=16k²≥0；
∴當(dāng)k=0時(shí)，不等式的解集為∅；
當(dāng)k≠0時(shí)，不等式對應(yīng)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為-3k和5k，
若k＞0，則-3k＜5k，∴不等式的解集為{x|-3k＜x＜5k}，
若k＜0，則5k＜-3k，∴不等式的解集為{x|5k＜x＜-3k}；
綜上，k=0時(shí)，不等式的解集為∅；
k＞0時(shí)，不等式的解集為{x|-3k＜x＜5k}，
k＜0時(shí)，不等式的解集為{x|5k＜x＜-3k}．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次不等式與對應(yīng)方程的應(yīng)用問題，也考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法問題，是基礎(chǔ)題目．