Question

16．已知函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）記函數(shù)g（x）=10^f（x）+2x，求函數(shù)g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于0，即可求解函數(shù)f（x）的定義域；
（2）函數(shù)g（x）=10^f（x）+2x，求解出g（x）的解析式，在求其值域．

解答 解：（1）由題意：函數(shù)f（x）=lg（2+x）+lg（2-x）=$lg（\frac{2+x}{2-x}）$
∴函數(shù)f（x）的定義域滿足：$\left\{\begin{array}{l}{2-x＞0}\\{2+x＞0}\end{array}\right.$，解得：-2＜x＜2
故函數(shù)f（x）的定義域為（-2，2）．
（2）∵函數(shù)g（x）=10^f（x）+2x，
∴g（x）=$\frac{2+x}{2-x}$+2x=$\frac{2{x}^{2}-5x-2}{x-2}$=$\frac{2}{x-2}+2（x-2）+3$，（-2＜x＜2）
∵$-（\frac{2}{2-x}+2（2-x）$$≥-2\sqrt{4}=-4$，即$\frac{2}{x-2}+2（x-2）≤4$，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號．
根據(jù)勾勾函數(shù)的性質(zhì)：可得：函數(shù)g（x）在（-2，1）時，是增函數(shù)，（1，2）時，是減函數(shù)．
故得g（x）∈（-$\frac{11}{2}$，7]．
所以函數(shù)g（x）的值域為（-$\frac{11}{2}$，7]．

點評 本題考查了對數(shù)的定義域的求法和計算能力以及值域的問題．屬于中檔題．