Question

10．已知四棱錐A-BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD∥BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)M是AB的中點(diǎn)，若DM與平面ABC所成角的正切值為$\sqrt{2}$，求平面ACD與平面ADE夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG，推導(dǎo)出四邊形BEFG是平行四邊形，從而EF∥BG，由此能證明EF∥面ABC．
（Ⅱ））由CD⊥平面ABC，是∠CMD為DM與平面ABC所成角，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CD為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能示出平面ACD與平面ADE夾角的余弦值．

解答 （本小題滿(mǎn)分12分
證明：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)G，連結(jié)FG、BG，
∵F、G分別是AD、AC的中點(diǎn)，
∴FG∥CD，且$FG=\frac{1}{2}CD$．
又∵CD∥BE，且CD=2BE，
∴四邊形BEFG是平行四邊形，
∴EF∥BG，EF?面ABC且BG⊆面ABC，
∴EF∥面ABC．…（5分）

（Ⅱ））∵CD⊥平面ABC
∴∠CMD為DM與平面ABC所成角，
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，且AC=BC=2，AC⊥BC，得$CM=\sqrt{2}$
∵DM與平面ABC所成角的正切值為$\sqrt{2}$，
∵CD=2，BE=1，…（7分）
以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CD為z軸建立空間直角坐標(biāo)，
則B（2，0，0），A（0，2，0），D（0，0，2），E（2，0，1），
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{AE}$=（2，-1，0），
設(shè)平面ADE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2x-y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，2），
而平面ACD的法向量為$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），
由cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CB}|}$=$\frac{1}{3}$，
得平面ACD與平面ADE夾角的余弦值為$\frac{1}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的證明，考百二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．