Question

19．（1）已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的單調(diào)減區(qū)間為[-1，2]，求b，c的值；
（2）設(shè)f（x）=ax³+x恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由于函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的單調(diào)減區(qū)間為[-1，2]，可得f′（x）=3x²+2bx+c≤0的解集是[-1，2]，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）求出f′（x），得到f′（x）=3ax²+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故可求得結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的單調(diào)減區(qū)間為[-1，2]，
∴f′（x）=3x²+2bx+c≤0的解集是[-1，2]，
∴-1，2是3x²+2bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
∴-1+2=-$\frac{2b}{3}$，-1×2=$\frac{c}{3}$．
解得：b=-$\frac{3}{2}$，c=-6．
（2）若f（x）恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，
則f′（x）=3ax²+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=0-12a＞0，解得：a＜0，
故a的范圍是（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、一元二次不等式的解法、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．