Question

15．如圖，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E為線段BC上一點，且BE=$\frac{1}{3}$BC，沿AC邊上的中線BD將△ABD折起到△PBD的位置．
（1）求證：PE⊥BD；
（2）當平面PBD⊥平面BCD時，求二面角C-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BD中點O，連結OE，PO，推導出OE⊥BD，PO⊥BD，從而BD⊥平面POE，由此能證明PE⊥BD．
（2）以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C-PB-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，
AB=2，E為線段BC上一點，且BE=$\frac{1}{3}$BC，
∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2$\sqrt{3}$，
取BD中點O，連結OE，PO，
∵OB=1，BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OE=$\sqrt{B{O}^{2}+B{E}^{2}-2×BO×BE×cos30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OB²OE²=BE²，∴OE⊥BD，
∵PB=PD，O為BD中點，∴PO⊥BD，
又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，
∴PE⊥BD．
解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，
如圖，以O為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
則B（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），C（$\sqrt{3}，-2，0$），
$\overrightarrow{BP}$=（0，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}，-3，0$），
設平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}x-3y=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}，1$），
平面圖PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
由圖形知二面角C-PB-D的平面角是銳角，
∴二面角C-PB-D的余弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．