Question

5．在底面為正三角形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=2，AA₁⊥平面ABC，E，F(xiàn)，G分別為BB₁，AB，AC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BG∥平面A₁EC₁；
（Ⅱ）若AA₁=2$\sqrt{2}$，求二面角A₁-EC-F的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）取A₁C的中點(diǎn)H，連結(jié)HG，EH，推導(dǎo)出四邊形EHGB為平行四邊形，從而B(niǎo)G∥EH，由此能證明BG∥平面A₁EC．
（Ⅱ）以F為原點(diǎn)，F(xiàn)B為x軸，F(xiàn)C為y軸，過(guò)F作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A₁-EC-F的大小．

解答 證明：（Ⅰ）取A₁C的中點(diǎn)H，連結(jié)HG，EH，
∴HG∥A₁A，HG=$\frac{1}{2}$A₁A，
又E為BB₁的中點(diǎn)，∴BE∥HG，BE=HG，
∴四邊形EHGB為平行四邊形，∴BG∥EH，
又EH?平面A₁EC，BG?平面A₁EC，
∴BG∥平面A₁EC．
解：（Ⅱ）以F為原點(diǎn)，F(xiàn)B為x軸，F(xiàn)C為y軸，過(guò)F作平面ABC的垂線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁=a，
則F（0，0，0），A₁（-1，0，a），E（1，0，$\frac{a}{2}$），C（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{FE}$=（1，0，$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{FC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（2，0，-$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，$\sqrt{3}$，-a），
設(shè)平面ECF法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FE}=x+\frac{a}{2}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{FC}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{m}$=（-a，0，2），
設(shè)平面A₁EC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}E}=2{x}_{1}-\frac{a}{2}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}={x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}-a{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取z=4，得$\overrightarrow{n}$=（a，$\sqrt{3}a$，4），
設(shè)二面角A₁-EC-F的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{8-{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+4}•\sqrt{4{a}^{2}+16}}$，
當(dāng)AA₁=a=2$\sqrt{2}$時(shí)，cosθ=0，即θ=90°，
∴二面角A₁-EC-F的大小為90°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．