Question

20．設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x₁，x₂∈D且x₁+x₂=2a，恒有f（x₁）+f（x₂）=2b，則稱點(diǎn)（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對(duì)稱中心，研究并利用函數(shù)f（x）=x³-3x²-sinπx的對(duì)稱中心，可得$f（\frac{1}{2013}）+f（\frac{2}{2013}）+…+f（\frac{4024}{2013}）+f（\frac{4025}{2013}）$=（　　）

• A． 4025
• B． -4025
• C． 8050
• D． -8050

Answer 1

分析 函數(shù)（x）=x³-3x²-sin（πx）圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（1，-2），即x₁+x₂=2時(shí)，總有f（x₁）+f（x₂）=-4，再利用倒序相加，即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意要求$f（\frac{1}{2013}）+f（\frac{2}{2013}）+…+f（\frac{4024}{2013}）+f（\frac{4025}{2013}）$的值，
易知$\frac{1}{2013}$+$\frac{4025}{2013}$=$\frac{2}{2013}$+$\frac{4024}{2013}$=…=2，
所以函數(shù)（x）=x³-3x²-sin（πx）圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為（1，-2），
即x₁+x₂=2時(shí)，總有f（x₁）+f（x₂）=-4
∴$f（\frac{1}{2013}）+f（\frac{2}{2013}）+…+f（\frac{4024}{2013}）+f（\frac{4025}{2013}）$=$\frac{1}{2}$（-4×4025）=8050，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的對(duì)稱性，確定函數(shù)的對(duì)稱中心，利用倒序相加x₁+x₂=2，是解題的關(guān)鍵．