Question

2．已知x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函數(shù)f（x）=$\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}$的最小值．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=-3•$\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}$，式子$\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}$表示點(diǎn)（sin2x，cos2x）與點(diǎn)（0，$\frac{5}{3}$）連線的斜率，數(shù)形結(jié)合由直線和圓相切可得式子最大值，進(jìn)而可得原式的最小值．

解答 解：由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=$\frac{1+cos2x+8si{n}^{2}x}{sin2x}$
=$\frac{1+cos2x+8•\frac{1-cos2x}{2}}{sin2x}$=$\frac{5-3cos2x}{sin2x}$=-3•$\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}$，
式子$\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}$表示點(diǎn)（sin2x，cos2x）與點(diǎn)（0，$\frac{5}{3}$）連線的斜率，
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2x∈（0，π），sin2x∈（0，1]，cos2x∈（-1，1），
∴點(diǎn)（sin2x，cos2x）在單位圓的右半圓（不含直徑端點(diǎn)），
結(jié)合圖象可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)（0，$\frac{5}{3}$）的直線與半圓相切時(shí)，$\frac{cos2x-\frac{5}{3}}{sin2x-0}$取最大值，
設(shè)直線方程為y-$\frac{5}{3}$=k（x-0）即3kx-3y+5=0，
由直線和圓相切可得$\frac{5}{\sqrt{9{k}^{2}+9}}$=1，解方程結(jié)合斜率為負(fù)數(shù)可得k=-$\frac{4}{3}$，
∴原式有最小值-3×（-$\frac{4}{3}$）=4

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，變形并轉(zhuǎn)化為直線斜率并解決直線和圓相切是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．