Question

12．若不等式|x+$\frac{1}{x}$|＞|a|+1對于一切非零實數x恒成立，則實數a的取值范圍是（-1，1）．

Answer 1

分析 由不等式|x+$\frac{1}{x}$|＞|a|+1對于一切非零實數x恒成立，可得：$|x+\frac{1}{x}{|}_{min}$＞|a|+1，利用基本不等式的性質可得：$|x+\frac{1}{x}{|}_{min}$，即可得出．

解答 解：∵|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+$\frac{1}{|x|}$≥2，當且僅當x=±1時取等號．
由不等式|x+$\frac{1}{x}$|＞|a|+1對于一切非零實數x恒成立，
∴2＞|a|+1，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
∴實數a的取值范圍是（-1，1）．
故答案為：（-1，1）．

點評 本題考查了基本不等式的性質、恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．