Question

4．分別過橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左右焦點F₁，F(xiàn)₂的動直線l₁，l₂交于P點，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄，且滿足k₁+k₂=k₃+k₄，已知當(dāng)l₁與x軸重合時，|AB|=2$\sqrt{3}$，|CD|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點E₁，E₂的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），證明|PE₁|+|PE₂|為定值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)l₁與x軸重合時，可得k₁+k₂=k₃+k₄=0，可得l₂垂直于x軸，可得|AB|，|CD|的長，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0）．當(dāng)直線l₁、l₂斜率存在時，設(shè)斜率分別為m₁，m₂．可得l₁的方程為y=m₁（x+1），l₂的方程為y=m₂（x-1）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），與橢圓方程聯(lián)立即可得出根與系數(shù)的關(guān)系，再利用斜率計算公式和已知即可得出m₁與m₂的關(guān)系，進而得出答案．

解答 解：（1）當(dāng)l₁與x軸重合時，k₁+k₂=k₃+k₄=0，即k₃=-k₄，
即有l(wèi)₂垂直于x軸，可得|AB|=2a=2$\sqrt{3}$，|CD|=$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）證明：當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0）．
當(dāng)直線l₁、l₂斜率存在時，設(shè)斜率分別為m₁，m₂．
∴l(xiāng)₁的方程為y=m₁（x+1），l₂的方程為y=m₂（x-1）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y={m}_{1}（x+1）}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，得到（2+3m₁²）x²+6 m₁²x+3m₁²-6=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6{{m}_{1}}^{2}}{2+3{{m}_{1}}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{{m}_{1}}^{2}-6}{2+3{{m}_{1}}^{2}}$．
同理x₃+x₄=$\frac{6{{m}_{2}}^{2}}{2+3{{m}_{2}}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{3{{m}_{2}}^{2}-6}{2+3{{m}_{2}}^{2}}$．（*）
∵k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{{m}_{1}（{x}_{1}+1）}{{x}_{1}}$=m₁+$\frac{{m}_{1}}{{x}_{1}}$，k₂=m₁+$\frac{{m}_{1}}{{x}_{2}}$，
k₃=m₂-$\frac{{m}_{2}}{{x}_{3}}$，k₄=m₂-$\frac{{m}_{2}}{{x}_{4}}$．
又滿足k₁+k₂=k₃+k₄．
∴2m₁+m₁•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=2m₂-m₂•$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{{x}_{3}{x}_{4}}$，
把（*）代入上式化為：2m₁+m₁•$\frac{-2{{m}_{1}}^{2}}{{{m}_{1}}^{2}-2}$=2m₂-m₂•$\frac{2{{m}_{2}}^{2}}{{{m}_{2}}^{2}-2}$．（m₁≠m₂）．
化為m₁m₂=-2．
設(shè)點P（x，y），則$\frac{y}{x+1}$•$\frac{y}{x-1}$=-2，（x≠±1）
化為$\frac{{y}^{2}}{2}$+x²=1．
由當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0）也滿足，
∴點P在橢圓上，則存在點E₁，E₂的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），
|PE₁|+|PE₂|=2 $\sqrt{2}$為定值．

點評 熟練掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得出根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式等是解題的關(guān)鍵．