Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁且斜率不為0的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|BF₂||AF₂|的最大值為（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 4
• D． $\frac{25}{4}$

Answer 1

分析 由橢圓的性質(zhì)可得：當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|取得最小值．由橢圓的定義可知：|BF₂|+|AF₂|+|AB|=4a，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．|

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可得a=2，b²=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1．
∴左右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|取得最小值為2×$\frac{3}{2}$=3．
由橢圓的定義可知：|BF₂|+|AF₂|+|AB|=4a=8，則|BF₂|+|AF₂|=8-|AB|≤8-3=5，
∴5≥$2\sqrt{|B{F}_{2}||A{F}_{2}|}$，可得|BF₂||AF₂|≤$\frac{25}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)|BF₂|=|AF₂|=$\frac{5}{2}$時(shí)取等號(hào)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．