Question

3．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個面上的對角線所在直線中，與直線AD₁所成角是$\frac{π}{3}$的條數(shù)是8．

Answer 1

分析 連接正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個面上的對角線，根據(jù)正方體的特征，不難發(fā)現(xiàn)：對角線與AD₁所構(gòu)成的三角形ACD₁是等邊三角形，三角形AB₁D₁是等邊三角形，與直線AD₁所成角是$\frac{π}{3}$．那么在正方體中與這些對角線平行的與直線AD₁所成角都是$\frac{π}{3}$．即可得到答案．

解答 解：連接正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個面上的對角線，
由于是正方體，不難發(fā)現(xiàn)：對角線AD₁、AC、CD₁構(gòu)成等邊三角形ACD₁，
同理：AB₁D₁也是等邊三角形，與直線AD₁所成角是$\frac{π}{3}$．
∵AC∥A₁C₁、CD₁∥BA₁，DC₁∥AB₁、B₁D₁∥BD
∴直線AD₁所成角是$\frac{π}{3}$，
所以與直線AD₁所成角是$\frac{π}{3}$的直線是AC、A₁C₁、CD₁、BA₁，DC₁、AB₁、B₁D₁、BD有8條．
故答案為8．

點評 本題考查了正方體的特征，線面，線線的關(guān)系以及線線所成的角的問題．屬于基礎(chǔ)題．